- Постройте графики функций с помощью производной первого порядка
- Решение.
- Постройте графики функций с помощью производной первого порядка
- Решение
-         1) Областью определения является вся действительная ось .         2) Найдём пересечение с осями координат.         Пересечение с осью Oy :      .         Пересечение с осью Ox:      .         Отсюда     и      .         3) Функция ни четная, ни нечетная. Действительно и .         4) Найдём производную .         Производная равна нулю в точке        . Производная не существует в точках         и        .         При               производная положительная.
- Построение графика функции методом дифференциального исчисления
- Правила ввода функции
- Применение производной к построению графиков функций
- Урок 13. Алгебра 11 класс ФГОС
- В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам
- Получите невероятные возможности
- Конспект урока «Применение производной к построению графиков функций»
Постройте графики функций с помощью производной первого порядка
        Вариант 1     Вариант 2     Вариант 3     Вариант 4     Вариант 5     Вариант 6
        Вариант 7     Вариант 8     Вариант 9     Вариант 10     Вариант 11     Вариант 12
      Вариант 13     Вариант 14     Вариант 15     Вариант 16     Вариант 17     Вариант 18
      Вариант 19     Вариант 20     Вариант 21     Вариант 22     Вариант 23     Вариант 24
      Вариант 25     Вариант 26     Вариант 27     Вариант 28     Вариант 29
      Вариант 30     Вариант 31
        1.3 Построить график функции с помощью производной первого порядка
Решение.
        1) Областью определения функции является вся числовая ось. То есть     
    .
        2) Функция ни четная, ни нечетная, так как     
    и     
   .
        3) Найдём производную функции
.
        4) Найдём критические точки, в которых производная обращается в ноль     
    .
        Это точки     
    . Отметим эти точки на числовой оси и определим знак производной на интервалах.
        Таким образом:     
    — точка минимума;     
    — точка максимума;     
    — точка минимума. 
.
        5) Строим график на основании проделанного исследования.
.
Источник
Постройте графики функций с помощью производной первого порядка
        Вариант 1     Вариант 2     Вариант 3     Вариант 4     Вариант 5     Вариант 6
        Вариант 7     Вариант 8     Вариант 9     Вариант 10     Вариант 11     Вариант 12
        Вариант 13     Вариант 14     Вариант 15     Вариант 16     Вариант 17     Вариант 18
        Вариант 19     Вариант 20     Вариант 21     Вариант 22     Вариант 23     Вариант 24
        Вариант 25     Вариант 26     Вариант 27     Вариант 28     Вариант 29     Вариант 30
        Вариант 31
        2.1 Построить график функции с помощью производной первого порядка. 
Решение
        1) Областью определения является вся действительная ось 
.         2) Найдём пересечение с осями координат.
        Пересечение с осью Oy :      .
        Пересечение с осью Ox:      .
        Отсюда     и      .         3) Функция ни четная, ни нечетная. Действительно и .         4) Найдём производную .         Производная равна нулю в точке        . Производная не существует в точках         и        .
        При               производная положительная.
.         2) Найдём пересечение с осями координат. 
 .
 . 
    и     
 .         3) Функция ни четная, ни нечетная. Действительно 
и 
.         4) Найдём производную 
.         Производная равна нулю в точке             Следовательно, при       
      функция возрастает.
        При     
    производная отрицательная.
        Следовательно, при         функция убывает.
        В точке     
    знак производной меняется с “+” на “-”. В этой точке будет максимум функции. Максимальное значение функции     
   .
        В точках     
    и     
    производная бесконечная. Следовательно, касательная к графику функции будет вертикальная.
        5) На основании проведённого исследования строим график. 
Источник
Построение графика функции методом дифференциального исчисления
Правила ввода функции
- Примеры ≡ x^2/(x+2)
cos 2 (2x+π) ≡ (cos(2*x+pi))^2≡ x+(x-1)^(2/3)
≡ x^2/(x+2) 
≡ x+(x-1)^(2/3) Пример №1 . Провести полное исследование функции 
и построить ее график.
1) Функция определена всюду, кроме точек 
.
2) Функция нечетная, так как f(-x) = -f(x) , и, следовательно, ее график симметричен относительно начала координат. Поэтому ограничимся исследованием только для 0 ≤ x ≤ +∞.
3) Функция не периодическая.
4) Так как y=0 только при x=0, то пересечение с осями координат происходит только в начале координат.
5) Функция имеет разрыв второго рода в точке 
, причем 
, 
. Попутно отметим, что прямая 
– вертикальная асимптота.
6) Находим 
и приравниваем ее к нулю: 
, откуда x1 = -3, x2 = 0, x3 = 3. На экстремум надо исследовать только точку x=3 (точку x2=0 не исследуем, так как она является граничной точкой промежутка [0, +∞)).
В окрестности точки x3=3 имеет: y’>0 при x 3, следовательно, в точке x3 функция имеет максимум, ymax(3)=-9/2. Найти первую производную функции
7) Находим 
. Видим, что y’’=0 только при x=0, при этом y” 0 при x>0, следовательно, в точке (0,0) кривая имеет перегиб. Иногда направление вогнутости может измениться при переходе через разрыв кривой, поэтому следует выяснить знак y” и около точек разрыва функции. В нашем случае y”>0 на промежутке (0, 
) и y” Найти вторую производную функции
8) Выясним вопрос об асимптотах.
Наличие вертикальной асимптоты установлено выше. Ищем горизонтальные: , следовательно, горизонтальных асимптот нет.
Найдем наклонные асимптоты: , , следовательно, y=-x – наклонная двусторонняя асимптота.
9) Теперь, используя полученные данные, строим чертеж:
Построить график функции
Пример №2 . Построить график функции .
Решение.
1. Область определения функции D(y) = (-∞;0)U(0;∞).
2. Функция не является четной или нечетной.
3. Найдем точки пересечения графика с осью ОХ; имеем ; .
4. Точки разрыва x=0 , причем ; следовательно, x=0 является вертикальной асимптотой графика.
Найдем наклонные асимптоты: ; .
Наклонная асимптота имеет уравнение y=x .
5. Найдем экстремум функции и интервалы возрастания и убывания. Имеем . Существует единственная критическая точка x =2. В промежутках x∈(-∞ ;0)∪(2; +∞) y’>0, следовательно, функция возрастает; в промежутке x∈(0;2) y’ 0, следовательно, x=2 – точка минимума ymin=3.
6. Найдем интервалы выпуклости и вогнутости кривой и точки ее перегиба. Так как y’’>0 (x≠0), то график функции всюду вогнут. Точек перегиба кривая не имеет.
Строим график функции.
Источник
Применение производной к построению графиков функций
Урок 13. Алгебра 11 класс ФГОС
В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам
Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет, приобрев в каталоге.
Получите невероятные возможности
Конспект урока «Применение производной к построению графиков функций»
Сегодня на уроке мы приведём общую схему исследования свойств функции с помощью её производной. Будем строить график функции, используя результаты исследования.
Прежде чем приступить к рассмотрению новой темы, давайте вспомним, что на предыдущих занятиях мы рассмотрели применение производной к нахождению промежутков возрастания и убывания функций. Выяснили, какие точки называют точками максимума функции и точками минимума функции. Научились находить эти точки и значения функции в них. Сегодня на уроке мы применим эти знания к построению графиков функций.
Давайте начнём с примера. Итак, постройте график функции 
.
Полученные результаты исследования функции удобно записать в виде следующей таблице.
В первой строке этой таблицы указаны в порядке возрастания критические точки функции и ограниченные ими промежутки. Во второй строке отмечены знаки производной на этих промежутках. В третьей строке записаны выводы о ходе изменения данной функции, в четвёртой строке – о виде критических точек.
При построении графика обычно находят точки пересечения графика с осями координат.
Построим график функции.
Получается, что для построения графика функции сначала исследуют свойства этой функции с помощью её производной.
Давайте приведём схему исследования свойств функции с помощью её производной.
Итак, при исследовании свойств функции надо найти:
1) область определения; производную; стационарные точки;
2) промежутки возрастания и убывания;
3) точки экстремума и значения функции в этих точках.
Результаты исследования удобно записать в виде таблицы, используя которую, строят график функции. Для более точного построения графика обычно находят точки пересечения с осями координат. Также можно найти координаты ещё нескольких точек графика.
Отметим, что для построения графика чётной (нечётной) функции достаточно исследовать свойства и построить её график при 
, а затем отразить его симметрично относительно оси ординат (начала координат).
Давайте построим график функции 
.
Полученные результаты исследования запишем в виде таблицы.
Найдём значение функции в точке 
– крайней точке рассматриваемого интервала. 
.
Построим график функции.
Так как рассматриваемая функция является нечётной, то её график при 
строим с помощью симметрии относительно начала координат.
Часто встречаются задачи, в которых требуется исследовать функцию не на всей области определения, а на некотором промежутке.
Давайте построим график функции 
на отрезке 
.
Запишем полученные результаты исследования функции в виде таблицы.
Получается, что график функции не пересекает ось абсцисс.
Источник
