- Построить график производной с помощью производной первого порядка
- Решение.
- Построить график производной с помощью производной первого порядка
- Решение
-         1) Областью определения является вся действительная ось .         2) Найдём пересечение с осями координат.         Пересечение с осью Oy :      .         Пересечение с осью Ox:      .         Отсюда     и      .         3) Функция ни четная, ни нечетная. Действительно и .         4) Найдём производную .         Производная равна нулю в точке        . Производная не существует в точках         и        .         При               производная положительная.
- Алгебра и начала математического анализа. 11 класс
Построить график производной с помощью производной первого порядка
        Вариант 1     Вариант 2     Вариант 3     Вариант 4     Вариант 5     Вариант 6
        Вариант 7     Вариант 8     Вариант 9     Вариант 10     Вариант 11     Вариант 12
      Вариант 13     Вариант 14     Вариант 15     Вариант 16     Вариант 17     Вариант 18
      Вариант 19     Вариант 20     Вариант 21     Вариант 22     Вариант 23     Вариант 24
      Вариант 25     Вариант 26     Вариант 27     Вариант 28     Вариант 29
      Вариант 30     Вариант 31
        1.3 Построить график функции с помощью производной первого порядка
Решение.
        1) Областью определения функции является вся числовая ось. То есть     
    .
        2) Функция ни четная, ни нечетная, так как     
    и     
   .
        3) Найдём производную функции
.
        4) Найдём критические точки, в которых производная обращается в ноль     
    .
        Это точки     
    . Отметим эти точки на числовой оси и определим знак производной на интервалах.
        Таким образом:     
    — точка минимума;     
    — точка максимума;     
    — точка минимума. 
.
        5) Строим график на основании проделанного исследования.
.
Источник
Построить график производной с помощью производной первого порядка
        Вариант 1     Вариант 2     Вариант 3     Вариант 4     Вариант 5     Вариант 6
        Вариант 7     Вариант 8     Вариант 9     Вариант 10     Вариант 11     Вариант 12
        Вариант 13     Вариант 14     Вариант 15     Вариант 16     Вариант 17     Вариант 18
        Вариант 19     Вариант 20     Вариант 21     Вариант 22     Вариант 23     Вариант 24
        Вариант 25     Вариант 26     Вариант 27     Вариант 28     Вариант 29     Вариант 30
        Вариант 31
        2.1 Построить график функции с помощью производной первого порядка. 
Решение
        1) Областью определения является вся действительная ось 
.         2) Найдём пересечение с осями координат.
        Пересечение с осью Oy :      .
        Пересечение с осью Ox:      .
        Отсюда     и      .         3) Функция ни четная, ни нечетная. Действительно и .         4) Найдём производную .         Производная равна нулю в точке        . Производная не существует в точках         и        .
        При               производная положительная.
.         2) Найдём пересечение с осями координат. 
 .
 . 
    и     
 .         3) Функция ни четная, ни нечетная. Действительно 
и 
.         4) Найдём производную 
.         Производная равна нулю в точке             Следовательно, при       
      функция возрастает.
        При     
    производная отрицательная.
        Следовательно, при         функция убывает.
        В точке     
    знак производной меняется с “+” на “-”. В этой точке будет максимум функции. Максимальное значение функции     
   .
        В точках     
    и     
    производная бесконечная. Следовательно, касательная к графику функции будет вертикальная.
        5) На основании проведённого исследования строим график. 
Источник
Алгебра и начала математического анализа. 11 класс
Конспект урока
Алгебра и начала математического анализа, 11 класс
Урок №20. Построение графиков функций.
Перечень вопросов, рассматриваемых в теме
- Исследование функций;
- Построение графиков функций;
- Применение производной для решения графических задач.
Глоссарий по теме
Асимптота графика функции y = f(x) – прямая, обладающая тем свойством, что расстояние от точки (х, f(x)) до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки графика от начала координат.
Возрастание функции. Функция y=f(x) возрастает на интервале X, если для любых х1и х2, 
из этого промежутка выполняется неравенство 
. Другими словами – большему значению аргумента соответствует большее значение функции.
Выпуклость вверх. Функция выпукла вверх, если, соединив любые две точки ее графика отрезком прямой, обнаруживают, что соответствующая часть графика лежит выше проведенного отрезка.
Выпуклость вниз. Функция выпукла вниз, если, соединив любые две точки ее графика отрезком прямой, обнаруживают, что соответствующая часть графика лежит ниже проведенного отрезка.
Максимум функции. Значение функции в точке максимума называют максимумом функции.
Минимум функции. Значение функции в точке минимума называют минимумом функции.
Производная (функции в точке) — основное понятие дифференциального исчисления, которое характеризует скорость изменения функции (в конкретной точке).
Производная второго порядка (вторая производная). Производная второго порядка есть первая производная от производной первого порядка.
Производную определяют, как предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к 0, если такой предел существует.
Точка максимума функции. Точку х0называют точкой максимума функции y = f(x), если для всех x из ее окрестности справедливо неравенство 
.
Точка минимума функции. Точку х0 называют точкой минимума функции y = f(x), если для всех x из ее окрестности справедливо неравенство 
.
Точка перегиба. Точки, в которых выпуклость вверх меняется на выпуклость вниз или наоборот, называются точками перегиба.
Точки экстремума функции. Точки минимума и максимума называют точками экстремума.
Убывание функции. Функция y=f(x) убывает на интервале X, если для любых х1 и х2 , 
из этого промежутка выполняется неравенство 
. Другими словами – большему значению аргумента соответствует большее значение функции.
Колягин Ю.М., Ткачева М.В, Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2014.
Орлова Е. А., Севрюков П. Ф., Сидельников В. И., Смоляков А.Н. Тренировочные тестовые задания по алгебре и началам анализа для учащихся 10-х и 11-х классов: учебное пособие – М.: Илекса; Ставрополь: Сервисшкола, 2011.
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Функция выпукла вниз, если, соединив любые две точки ее графика отрезком прямой, обнаруживают, что соответствующая часть графика лежит ниже проведенного отрезка.
Функция выпукла вверх, если, соединив любые две точки ее графика отрезком прямой, обнаруживают, что соответствующая часть графика лежит вышепроведенного отрезка.
Полная схема построения графика функции:
- Найти область определения функции D(f).
- Исследовать функцию на четность (найти f(-x)).
- Найти асимптоты.
- Найти стационарные и критические точки.
- Найти промежутки монотонности.
- Найти интервалы выпуклости вверх и выпуклости вниз.
- Найти точки перегиба
- Составить таблицу значений функции для некоторых точек.
- По полученным данным построить график функции.
Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля
Пример 1. Постройте график функции у = х 3 – 3х + 3, используя краткую схему построения. схему построения.
2) Функция не является ни четной, ни нечетной, т. к. 
4) f’(x) = 3x 2 – 3, f’(x) = 0 при х = 1, х = -1.
х = 1, х = -1 – стационарные точки.
5) f’(x)>0 при 
. Так как в точках х = 1, х = -1 функция непрерывна, то эти точки также включаются в промежутки возрастания.
Пример 2. Постройте график функции
, используя подробную схему построения. схему построения.
1) 
2) Функция не является ни четной, ни нечетной, т. к. 
3) х = 1 – вертикальная асимптота
4) 
, f’(x) = 0 при х = 2, х = 0.
х = 2, х = 0 – стационарные точки.
5) f’(x)>0 при 
. Так как в точках х = 0, х = 2 функция непрерывна, то эти точки также включаются в промежутки возрастания.
Источник
