Аптека получила 100 упаковок некоторого лекарственного препарата со склада 1
На чтение 13 минОпубликовано
Аптека получила 100 упаковок некоторого лекарственного препарата со склада 1
Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.
Добро пожаловать!
Суммой (объединением) случайных событий А и В называется событие С, состоящее в выполнении или события А, или события В, или обоих вместе; иначе говоря, в появлении хотя бы одного из событий А и В: С = А + В. Если события представить как множества А и В (рис. 2.3), то суммой событий называют объединение этих множеств: С = А В. На рис. 2.3 объединением множеств U является заштрихованная область, которая состоит из трёх частей: первая – осуществляется только событие А и не осуществляется В; вторая – осуществляется только событие В и не осуществляется А; третья – осуществляется и событие А и событие В (их пересечение).
Рис. 2.3 – Диаграммы Венна для суммы двух случайных событий Следствия: А + = U А + А = А Пример 2.8. Два студента проводят полный анализ лекарственного средства.
Событие А – определение достоверных показателей лекарственного препарата первым студентом, событие В – определение достоверных показателей лекарственного препарата вторым студентом. Событие С = A + B – определение достоверных показателей лекарственного препарата или первым студентом, или вторым, или первым и вторым студентами.
Произведением (пересечением, совмещением) случайных событий А и В называется событие Е, состоящее в выполнении и события А, и события В; иначе говоря, в появлении обоих событий вместе.
Рис. 2.4 – Диаграммы Венна для произведения двух случайных событий Следствия: А = V А А = А Пример 2.9. На аптечный склад поступили ампулы с новокаином, изготовленные фармацевтическими заводами № 1 и № 2. Событие А – появление ампулы, разбитой при транспортировке, событие В – появление ампулы, изготовленной на фармацевтическом заводе № 1. Тогда событие Е = A B – появление разбитой ампулы, изготовленной на фармацевтическом заводе № 1.
Теоремы умножения и сложения вероятностей Независимые и зависимые события. Условная вероятность события.
Теоремы умножения вероятностей.
Событие А называется независимым от события В, если вероятность события А не зависит от того, произошло событие В или нет.
AB= AB=C Рис. 2.5 – Диаграммы Венна для произведения двух (несовместных и совместных) случайных событий Пример 2.10. Поступление в аптеку рецептов (событие А), обращения больных к медицинской сестре (событие В) являются независимыми событиями.
Теорема: вероятность произведения двух независимых событий А и В равна произведению вероятностей этих событий: P (AB) = P(A) P(B).
Пример 2.11. Медицинская сестра обслуживает в палате четырёх больных.
Вероятность того, что в течение часа внимания медсестры потребует первый больной, Р(А) = 0,2, второй больной – Р(В) = 0,3, третий – Р(С) = 0,25, четвёртый больной – Р(D) = 0,1. Найти вероятность того, что в течение часа все больные одновременно потребуют сестринского вмешательства.
Решение. Считая требования больных независимыми, находим искомую вероятность по формуле:
Если же вероятность события А меняется в связи с появлением или непоявлением события В, то событие А называется зависимым от события В.
Вероятность события А, вычисленная при условии, что имело место событие В, называется условной вероятностью события А; обозначение Р(А/В).
Теорема: вероятность произведения двух зависимых событий А и В равна произведению одного из них на условную вероятность второго, вычисленную при условии, что первое событие осуществилось:
Р(АВ) = Р(А) Р(В/А) = Р(В) Р(А/В).
Пример 2.12. Студент пришёл на экзамен по фармакологии, зная лишь 40 из 50 вопросов учебной программы. В экзаменационном билете три вопроса. Найти вероятность того, что студент ответит на первый вопрос билета (событие А), на второй вопрос (событие В) и на третий вопрос (событие С).
Решение. Вероятность того, что студент ответит на первый вопрос билета, P(A) = 40/50 = 4/5. Вероятность того, что студент ответит на второй вопрос, вычисленная при условии, что он ответил на первый вопрос, т.е. условная вероятность, P(B/A) = 39/49. Вероятность того, что студент ответит на третий вопрос экзаменационного билета, в предположении, что он ответил на первый и второй вопросы, т.е. условная вероятность, P(C/(AB)) = 38/48 = 19/24. По формуле находим искомую вероятность:
B C P(ABC) = P(A)P( ) = 4/539/4919/24 = 0,5.
A)P( AB Теорема сложения вероятностей. Совместные и несовместные события.
Несколько событий называются несовместными в данном опыте, если никакие два из них не могут появиться вместе в этом эксперименте; в противном случае события называются совместными.
Теорема: по отношению к любому испытанию и для любых случайных событий А и В имеет место равенство:
Р(А + В) = Р(А) + Р(В) — Р(АВ).
Следствие. Если А и В – несовместные события, то вероятность наступления одного из них равна сумме вероятностей этих событий:
Р(А + В) = Р(А) + Р(В) A*B= A+B=D Рис. 2.6 – Диаграммы Венна для суммы двух (несовместных и совместных) случайных событий Пример 2.13. В аптеке имеются 100 упаковок одного лекарственного средства. Из них 20 упаковок имеют 90% срок годности, 50 упаковок – 70% срока годности, 24 упаковки – 50% срока годности, 6 упаковок с истекшим сроком годности. Какова вероятность того, что взятая наугад упаковка препарата может быть допущена к реализации Решение. Вероятность выбора упаковки с 90% сроком годности (событие А) Р(А) = 20/100 = 1/5. Вероятность выбора упаковки с 70% сроком (событие В) P(B) = 50/100 = 1/2. Вероятность выбора упаковки с 50% сроком (событие С) P(C) = 24/100 = 6/25. События А, В и С несовместные, поэтому находим Р(A + B + C) = 1/+ 1/2 + 6/25 = 32/50 = 0,64.
Теорема: сумма вероятностей несовместных событий А1, А2, …, Аn, образующих полную группу событий, равна единице:
P(А1) + P(А2) + … + P(Аn) = 1.
Пример 2.14. Аптечный склад получает лекарственные средства от медицинских предприятий трёх городов А, В, С. Вероятность получения препаратов из города А Р(А) = 0,6; из города B P(B) = 0,3. Найти вероятность Р(С) того, что препараты получены из города С.
Решение. События получения лекарственных средств из городов А, В и С составляют полную группу событий. Согласно приведенной выше формуле, 0,6 + 0,3 + P(C) = 1, откуда P(C) = 1 – 0,9 = 0,1.
Теоремы о повторении опытов. Расчет необходимого количества средств.
Частная теорема о повторении опытов В деятельности специалиста любого профиля зачастую встречаются ситуации, когда один и тот же опыт (эксперимент, операция, действие, процедура) повторяется неоднократно. В результате каждого опыта может появиться или не появиться желаемый результат – событие А. Причем, порой исследователя интересует не исход отдельного эксперимента в серии, а количество появлений события А по завершении всей серии.
Например, число эффектов стойкого снижения артериального давления у больных с гипертонией после применения нового лекарственного препарата.
Математически достаточно просто получить ответ на подобные вопросы в случае, когда опыты являются независимыми. Несколько опытов называются независимыми, если вероятность того или иного исхода опыта не зависит от того, какие исходы имели другие опыты в серии.
Например, динамика объемов продаж перевязочных средств, число посетителей воспользовавшихся услугой измерения кровяного давления в аптеке и т.п.
Частная теорема о повторении опытов. Если опыты производятся в одних и тех условиях и вероятность появления события А в каждом опыте одна и та же, здесь применима частная теорема о повторении опытов.
Производится n независимых опытов, в каждом из которых событие А может появиться с одной и той вероятностью p (тогда вероятность непоявления события А в каждом опыте равна q = 1 – p). Требуется найти вероятность Pm,n того, что событие А в серии из n опытов появится ровно m раз.
Пример2.15. Известно, что вероятность вызова врача на дом к больному рано утром в течение часа p = 0,7. Найти вероятность того, что в течение раннего утреннего часа не последует ни одного вызова.
Решение. Согласно формуле непоявления события А, искомая вероятность q = 1 – p = 1 – 0,7 = 0,3.
Формула Бернулли определяет вероятность того, что событие А появится ровно m раз в серии из n независимых опытов, если вероятность появления события А в каждом опыте одинакова и равна р:
m P(X = m) = Pm, n = Cn pmqn-m. m = 1,2. n., где Cnm – число сочетаний из n элементов по m.
Именно формула Бернулли математически выражает частную теорему о повторении опытов.
Якоб Бернулли (Jacob Bernoulli, 1654 – 1705) – профессор математики Базельского университета. Якоб Бернулли опубликовал свою теорему в труде «Искусство предположений» (1713г)[9].
Пример 2.16. В соответствии с фармацевтической статьёй предприятия (ФСП), вероятность содержания лекарственных веществ в одной грануле равна 0,9.
Какова вероятность того, что из 10 гранул 5 удовлетворяют нормативам Решение. Вероятность того, что содержание лекарственных веществ в одной грануле не удовлетворяет стандарту, q = 1 – p = 0,1. Согласно формуле Бернулли:
0,9 0,1 0,P5,1* 2*3* 4*При решении многих задач появляется необходимость вычисления вероятности того, что событие А появится хотя бы один раз в серии из n независимых опытов. Тогда, применяя формулу Бернулли несколько раз, получим [Приложение 5] P(X 1) = P1,n + P2,n +. + Pn, n =1- P0,n =1- qn =1- (1- p)n.
Но можно поставить и обратный вопрос: сколько нужно проделать экспериментов, чтобы событие А произошло хотя бы один раз с вероятностью не менее P при условии, что вероятность появления события А в каждом опыте одинакова и равна р Ответить на него легко, если решить предыдущее уравнение относительно n. В итоге решения этого уравнения получим [Приложение 6] ln(1- P) n, ln(1- p) где P – требуемая вероятность появления события А хотя бы один раз в серии из n независимых опытов;
p — вероятность появления события А в каждом опыте.
Эта формула называется формулой расчета наряда средств для выполнения поставленной задачи с заданной вероятностью.
Формула полной вероятности. Формулы Байеса Формула полной вероятности является следствием теоремы сложения вероятностей для несовместных событий, образующих полную группу событий, и теоремы умножения вероятностей для зависимых событий.
Гипотезами будем называть события Н1, Н2, …, Нn, образующие полную группу несовместных событий, причем событие А может произойти в каждом опыте только вместе с одним из них.
Известны априорные (доопытные) вероятности гипотез P(Hi), обязательно n P(Hi ) = 1, как сумма вероятностей полной группы событий.
i=Известны условные вероятности события А: P(A/Hi), i = 1…n.
Тогда полная вероятность события А, которое может осуществиться лишь при условии осуществления одного из несовместных событий А1, А2, … Аn, образующих полную группу событий, равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность события А и вычисляется по формуле полной вероятности:
i i=Пример 2.17. В аптеке имеются 40 различных аналептиков, 40 анальгетиков и 20 анестетиков. Какова вероятность того, что фармацевт сразу же ответит пациенту на вопрос о свойствах и дозировке конкретного препарата, если ему хорошо знакомы 30 аналептиков, 10 анальгетиков и 8 анестетиков.
Решение. Вероятность дать правильный ответ по аналептикам (событие А1) Р(А1) = 40/100 = 0,4, по анальгетикам (событие А2) Р(А2) = 40/100 = 0,4, по анеститикам (событие А3) Р(А3) = 20/100 = 0,2. Если событие А означает, что консультация дана, то Р(A/А1) = 30/40 = 0,75; Р(A/А2) = 10/40 = 0,25; Р(A/А3) = 8/20 = 0,4.
По формуле полной вероятности находим вероятность того, что фармацевт сразу же даст ответ пациенту:
Формулы Томаса Байеса являются следствием теоремы умножения вероятностей и формулы полной вероятности, они позволяют переоценить вероятности гипотез после выполнения эксперимента, когда уже известно, произошло или нет событие А.
Томас Байес (Бейес)(Bayes Thomas, 1702 – 1761) – английский математик, член Лондонского королевского общества.
Вероятности гипотез, пересчитанные после опыта по формулам Байеса, называются апостериорными вероятностями гипотез P(Hi/А):
P(Hi ) P(A/Hi ) P(Hi / A) =, P(A) где вероятность события А вычисляется по формуле полной вероятности.
Пример 2.18. Среди студентов одного из первых курсов фармацевтической академии 30% — имели аттестаты об окончании средней школы «с отличием» из числа поступивших городских жителей (группа 1) и 10% — имели аналогичные аттестаты из числа сельских жителей (группа 2). Известно, что процентное соотношение городских и сельских жителей на курсе приблизительно одинаковое.
Один из студентов сообщил куратору, что он окончил среднюю школу «с отличием». Исходя из этих данных, определить вероятность того, что он поступил в академию после окончания городской или сельской школы.
Решение. Выстроим гипотезы относительно «наугад выбранного студента»:
Н1 – выбранный студент относится к группе 1, Н2 – выбранный студент – из группы 2. События Н1 и Н2 образуют полную группу гипотез. Информация о вероятности выбранных гипотез отсутствует, но из соотношения городских и сельских жителей на курсе можно предположить, что априорные вероятности гипотез равны Р(Н1) = P(Н2) =0,5. Пусть случайное событие А – наугад выбранный студент входит в одну из двух групп, имеющих аттестаты об окончании средней школы «с отличием»; тогда условные вероятности события А находятся из заданных в условиях задачи соотношений:
0,5 0,3 + 0,5 0,Таким образом, можно сделать вывод о том, что вероятность того, что этот студент относится к числу городских жителей в три раза больше, чем вероятность того, что он поступил в академию из села.
2.1.2. Случайные величины В материалах предыдущего раздела читателю уже неоднократно встречались величины, численное значение которых меняется под влиянием случайных воздействий. К таким величинам можно отнести показатели антропометрических признаков (длина и масса тела, окружность грудной клетки и др.) пациентов одного возраста, показатели частоты сердечных сокращений и дыхания после каждой серии из десяти приседаний у одного и того же испытуемого, число студентов, прибывших на лекцию и т.п. В каждом из этих примеров мы имеем дело с величиной, которая характеризует результат предпринятого действия (например, измерения длины тела, подсчёта числа студентов на лекции); каждая из таких величин может при различных действиях, какими бы однородными мы ни старались сделать условия их выполнения, принимать различные значения, в зависимости от недоступных нашему влиянию или ускользающих от нашего контроля случайных различий в условиях этих действий. Знать случайную величину – это ещё не означает знание её численного значения, т.к. если мы знаем, что частота сердечных сокращений после десяти приседаний у испытуемого равна 96, то тем самым данный показатель просто принял одно определённое численное значение из некоторого числа возможных. В данном разделе изложено то, что необходимо знать о случайной величине для того, чтобы иметь всю научную полноту сведений о ней именно как о случайной величине.
Закон распределения случайной величины. Способы представления законов распределения случайной величины Случайной величиной (СВ) называется величина, которая в результате опыта может принять то или иное значение, причем заранее не известно, какое именно. Случайная величина является количественной характеристикой случайного явления. Значения, принимаемые случайной величиной в результате опыта, называются её возможными значениями.
В теории вероятностей принято именовать случайные величины заглавными буквами «второй половины» латинского алфавита: случайная величина Х, СВ Y. ;
а их возможные значения обозначать строчными буквами: х1, х2. хn; тогда можно сказать, что случайная величина Х приняла значение х, то есть, Х = х.
Принята следующая классификация случайных величин [2]:
