Аппроксимации производных в виде разностных отношений различного порядка точности на основе формулы Тейлора
3.1 Вводные замечания.
При получении простейших аппроксимаций производных в виде разностных отношений различного порядка точности предполагаем, что функция y = f (x) обладает гладкостью, необходимой для получения остаточных членов соответствующего порядка малости. При этом для наглядности будем пользоваться рис. 2.
При построении простейших аппроксимаций производных в виде разностных отношений пользуются следующей терминологией [2, стр. 514 — 515].
— аппроксимация производной f¢ (xi) в узле xi сетки, выраженная только через значения функции в узлах x i— 1; xi или только через значения функции в узлах xi, x i+ 1, называется несимметричной аппроксимацией.
— аппроксимация производной f¢ (xi) в узле xi сетки, выраженная через значения функции в узлах xi—1, xi, x i+1, называется симметричной аппроксимацией.
Рисунок — 2построение простейших аппроксимаций производных
При выводе формул для простейших аппроксимаций производных мы будем использовать разложение функции y = f (x) в ряд Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа. Поэтому кратко напомним некоторые моменты, связанные с разложением функции в ряд Тейлора.
тогда, как известно, его можно представить следующим рядом Тейлора [3, стр. 183]:
где x0 – некоторая фиксированная точка.
2. Если вместо полинома Pn(x) взять функцию y = f (x), которая в окрестности некоторой точки x0 (включая саму точку x0) имеет все производные до n-го порядка включительно, то в окрестности точки x0 функция f(x) представима рядом Тейлора [3, стр. 185 — 187]:
  где с – некоторая точка, лежащая между точками x0 и x: с Î(x0, x). | (25) |
В отличие от полинома Pn(x) степени n, выражение (25) для представления функции f (x) рядом Тейлора является точным, только при наличии в этом представлении слагаемого (остаточного члена):
,
который при постоянном n и при x ® x0 является величиной о( (x — x0) n ), т.е. величиной бесконечно малой порядка выше n-го по сравнению с разностью (x — x0).
3.2 Аппроксимации первой производной.
Несимметричная аппроксимацияf¢ (x)первого порядка точности.
Пусть дважды дифференцируемая функция y = f (x), задана на сетке равноотстоящих узлов 
с шагом h. Запишем данную функцию y = f (x) в виде ряда Тейлора в окрестности узла xi с точностью до слагаемых второго порядка малости:
, где x Î(x; xi).
(26)
Выражение (26) является точным и выражает производную f¢ (xi) функции f(x) в узле xi через f(xi) и значение f(x) в окрестности узла xi.
Первым слагаемым правой части равенства (26) является разностное отношение, аппроксимирующее производную вблизи точки xi, а второе слагаемое – это остаточный член (ошибка аппроксимации), характеризующий точность такой аппроксимации.
Зафиксируем в формуле (26) x = xi–1, при этом величина x = x i– 1 Î(x i– 1; xi). В этом случае получаем формулу левой аппроксимации производной f¢ (xi):
(27)
(28)
При i = 1 и i = 0 из формул (27) и (28) соответственно получаем приближённые равенства:
, x0 Î(x0; x1) (29)
, x0 Î(x 0; x1) (30)
Остаточные члены в формулах (29) и (30) указывают на то, что, пользуясь аппроксимацией (29), (30), мы совершаем ошибку, величина которой ведёт себя как о(h), т.е. эти аппроксимации первой производной имеют первый порядок точности.
Симметричная аппроксимацияf¢ (x)второго порядка точности.
Пусть трижды дифференцируемая функция y = f (x), задана на сетке равноотстоящих узлов с шагом h. Запишем данную функцию y = f (x) в виде ряда Тейлора в окрестности узла xi с точностью до слагаемых третьего порядка малости:
, где x Î(x; xi).
, x i+1Î(xi; x i+1)
, x i—1Î(x i–1; x i)
Вычитая почленно второе равенство из первого, получим:
откуда Þ
или
(31)
(32).
Следовательно, используя в формуле (31) равенство (32), приходим к формуле симметричной аппроксимации f¢ (xi) с остаточным членом второго порядка малости:
, x iÎ( x i—1; x i+1). (33)
Полученная формула (33) симметричной аппроксимации f¢ (xi) имеет второй порядок точности относительно шага h. При этом «основная» часть формулы (33)
при i = 1 совпадает с формулой (19): 
3.3 Аппроксимации второй производной.
a) Симметричная аппроксимация f¢¢ (x) второго порядка точности.
Пусть достаточно гладкая функция y = f (x), задана на сетке равноотстоящих узлов с шагом h. Запишем представление функции y = f (x) рядом Тейлора в окрестности точки xi с точностью до слагаемых четвёртого порядка малости:
, где x Î(x; xi).
, xi+1Î(xi; xi+1).
, xi–1Î(x i–1; xi).
Складывая почленно два последних равенства, получим:
(34)
, следовательно,
, xiÎ(xi–1; xi+1)
Поэтому соотношение (34) можно переписать в виде:
(35)
Выражая из равенства (35) величину f¢¢ (xi) приходим к формуле:
, xiÎ(xi–1; xi+1) (36)
Таким образом, формула 
определяет симметричную аппроксимацию второго порядка точности для второй производной, погрешность которой определяется остаточным членом:
и является величиной о(h 2 ).
b) Несимметричная аппроксимация f¢¢ (x) первого порядка точности.
Пусть достаточно гладкая функция y = f (x), задана на сетке равноотстоящих узлов 
с шагом h.
Покажем, что соотношение (36), используемое в качестве несимметричной аппроксимации для второй производной f¢¢ (x), т.е. для f¢¢ (xi+1) или для f¢¢ (xi—1), является аппроксимациейпервого порядка точности(а не второго).
Действительно, при всех необходимых оговорках о гладкости функции
y = f (x), в окрестности узла xi вторую производную, т.е. функцию f¢¢ (x) также можно представить рядом Тейлора:
x Î(x; xi) (37)
Подставляя в (37) вместо f¢¢ (xi) правую часть равенства (36) получаем:
(38)
Из (38) при x = xi—1 и x = xi+1 получаются следующие частные формулы для несимметричной аппроксимации второй производной:
, xi—1 Î(xi—1; xi) (39)
xi+1 Î(xi; xi+1) (40)
погрешности формул (39), (40) определяется выражениями:
, xiÎ(xi–1; xi+1), x Î(xi; xi+1),
, xiÎ(xi–1; xi+1), x Î(xi—1; xi),
и имеют порядок малости о(h).
§4. Погрешность формул численного дифференцирования.
При выводе формул численного дифференцирования исходную функцию
y = f(x) на интересующем интервале значений [a, b] заменяют интерполирующим полиномом Pn(x), а затем полагают, что при a £ x £ b f¢ (x) = Pn¢(x). Аналогично поступают и при нахождении производных высших порядков.
Если для используемой интерполирующей функции Pn(x) известно выражение для ошибки (погрешности) интерполяции R(x) = f(x) — Pn(x), то, как отмечалось выше, погрешность аппроксимации производной выражается формулой:
Считаем, что дифференцируемая функция y = f(x) задана своими значениями
y(x0), y(x1), y(x2), …, y(xn), на сетке равноотстоящих узлов : x0, x1, x2, …, xn отрезка [a, b], т.е. xi = x0 + ih, где i = 1, 2, …, n, где h > 0 — шаг сетки.
Пусть далее на сетке узлов 
функцию y = f(x) заменяют первым интерполяционным полиномом Ньютона k – го порядка Pk(x) с базовым узлом xi.
y(x) » Pk (xi + qh) = y(xi)+ qDyi + 
+ 
+ 
+
+…+ 
, 
.
В этом случае ошибка аппроксимации определяется выражением Rk (x) = f (x) — Pk (x), и, следовательно, для погрешности аппроксимации производной f¢ (x), которая обусловлена подменой функции f¢ (x) её интерполирующим полиномом Pk (x) имеем:
Как известно, погрешность первой интерполяционной формулы Ньютона определяется выражением:
(41)
где x — некоторая (вообще говоря, неизвестная, и, причём, зависящая от x) точка промежутка интерполяции (a, b).
Переходя в выражении (1) от переменной x к переменной имеем:
(42)
Напомним, что выражение (42) получено при условии, что f(x) Î 
, т.е. функция y = f(x) имеет на [a, b] все производные 
включительно. Поскольку мы получаем выражение для R¢k(x), то необходимо дополнительно потребовать, чтобы на [a, b] функция f(x) имела уже все производные до 
включительно, т.е. чтобы f(x) Î 
. Поэтому из (42), полагая, что
f(x) Î и учитывая, что 
, получим:
(43)
Далее подставим значение базового узла xi вместо переменной x в выражение (43). При x = xi переменная 
, следовательно, сомножитель 
во втором слагаемом выражения (43) обращается в нуль. Поэтому если предположить, что 
является величиной ограниченной на [a, b], то можно считать, что при x = xi
.
Далее следует учесть, что 
, действительно
= 
.
Поэтому при q = 0 из последнего выражения получаем:
Таким образом, из (43) для значения погрешности производной в точке x = xi получаем выражение:
(44)
Из выражения (44) следует, что для расчёта значения 
необходимо знать величину 
, которую трудно оценить, поскольку x — некоторая (вообще говоря, неизвестная, причём зависящая от xi) точка промежутка интерполяции (a, b).
На практике для оценки величины 
пользуются связью между производными 
функции f(x) и её конечными разностями D k+ 1 yi соответствующих порядков, считая, что
Поскольку в формуле (44) нам необходимо оценить величину 
, где x некоторое (заранее неизвестное и зависящее от xi) промежуточное значение с интервала интерполяции (a, b), то вместо величины в формулу (44) подставляют значение:
или соответствующую ему величину 
, рассчитанную для i = 0, …, k. Следовательно, заменяя в формуле (44) величину 
на выражение:
(45)
(46)
(47)
Аналогично может быть получено выражение и для оценки погрешности 
аппроксимации второй производной 
.
Воспользуемся формулой (44) чтобы получить выражения для ошибок полученных выше несимметричных аппроксимаций первых производных:
(18)
(20)
Поскольку аппроксимации (18), (20) получены при интерполировании функции f(x) первым интерполяционным полиномом Ньютона второй степени (n = 2), построенным по трём точкам x0, x1, x2 (см. выше п. 2.3), то, полагая в формуле (44) k = 2, i = 0 и i = 2 получаем:
, x0Î(x0, x2). (48)
, x2Î(x0, x2). (49)
С учётом выражений (48), (49) формулы (18), (20) перепишем в окончательном и более общем виде.
, xi-1Î(x i-1, x i+1) (50)
, xi+1Î(x i-1, x i+1) (51)
Заметим, что формулы (50), (51) для несимметричной аппроксимации f¢ (xi—1) и f¢ (xi+1) второго порядка точности имеют в остаточном члене вдвое больший коэффициент, чем формула симметричной аппроксимации
, x iÎ( x i—1; x i+1). (33)
т.е. (50), (51) имеют коэффициент 
вместо коэффициента 
в случае симметричной аппроксимации (33).
Источник
